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Resumo Sinais II

Resumo + Formulário feito por Breno Amin e adaptado por Maurício Taffarel feito com muito carinho :heart:

Possíveis questões que vão cair na prova:

Questões legais para treinar:

Questão de Convolução
Questão de Fourier
Questão de Resposta em frequência
Questão de Filtros
Questão de Métodos dos coeficientes a determinar

Aula 1 - Fundamentos

Saber determinar o período fundamental se a sequência discreta for periódica

$\Omega_{0}N=2\pi m$

Na lista 1 tem exemplos que trabalham isso

Aula 2 - Somatório de Convolução

Saber determinar intervalos da convolução
Saber fazer convolução

$x[n]∗h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left[k\right]h\left[n-k\right]$

$\sum_{n=N_{1}}^{N_{2}}\alpha^{n}=\frac{\alpha^{N_{2}+1}-\alpha^{N_{1}}}{\alpha-1}\space com\space N_{2}>N_{1}\ e\ α\neq 1$

No slide tem um exemplo muito bom A lista 1 também tem exemplos que trabalham isso

Aula 3 - Série de Fourier de Tempo Discreto

Saber utilizar Equação de Síntese e a Equação de Análise
Lembrar que Sinais reais apresentam simetria na frequência

$x[n]=\sum_{k=<N_{0}>}^{ }a_{k}e^{jk\left(\frac{2\pi}{N_{0}}\right)n}$

$a_{k}=\frac{1}{N_{0}}\sum_{n=<N_{0}>}^{ }x\left[n\right]e^{-jk\left(\frac{2\pi}{N_{0}}\right)n}$

Na lista 1 tem exemplos No slide também tem alguns exemplos

Aula 4, 5 e 6 - Transformada de Fourier e Resposta em frequência

Saber transistar entre a resposta em frequência, resposta ao impulso e equações de diferenças
Saber como trabalhar com equações diferenças com impulsos.

stateDiagram-v2
    ri : Resposta ao Impulso
    rf : Transformada de Fourier
    ed : Equação diferenças
    ed --> rf
    ri --> rf
    rf --> ri
    rf --> ed
    ed --> ri
    ri --> ed

$x\left[n\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{ }X\left(e^{j\Omega}\right)e^{j\Omega n}d\Omega$

$X\left(e^{j\Omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left[n\right]e^{-j\Omega n}$

$H\left(e^{j\Omega}\right)=\frac{b_{0}+b_{1}e^{-j\Omega}+...b_{N}e^{-j\Omega N}}{a_{0}+a_{1}e^{-j\Omega}+...a_{M}e^{-j\Omega M}}=\frac{\sum_{k=0}^{N}b_{k}e^{-jk\Omega}}{\sum_{k=0}^{M}a_{k}e^{-jk\Omega}}$

Slides tem exemplos Lista 1 tem exemplos disso também

Aula 7 - Filtros em tempo discreto

Trabalhar com filtros analisando a resposta em frequência
Classificar se ele é passa alta, passa baixa, calcular algum parâmetro de ajuste
Reconhecer a equação de um média-móvel e saber utilizar ela

$H_{PA}(e^{j\Omega})=H_{PB}(e^{j(\Omega-\pi)}) \implies h_{PA}[n]=e^{j\pi n}h_{PB}[n]=(1)^{n}h_{PB}[n]$

$H\left(e^{j\Omega}\right)=\frac{e^{j\Omega\left(N-M\right)/2}}{N+M+1}\frac{sen\left(\Omega\left(M+N+1\right)/2\right)}{sen\left(\Omega/2\right)}$

$y[n]=\frac{1}{N+M+1}\sum_{k=-N}^{M}x\left[n-k\right]$

Filtro passa-baixas com resposta de fase linear.
Se $(N - M)/2 = m$ com $m$ um inteiro negativo. Então $m$ é um simples atraso temporal.

Aula 8 e 9 - Amostragem

Entender que a amostragem pode ser obtida através da multiplicação de sinais.
Entender a sobreposição espectral

$x_{p}(t)=x(t)\cdot p(t)$ $p\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}δ\left(t-nT\right)$ $X_{p}(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(j\left(\Omega-k\Omega_{s}\right)\right)$

$\Omega_{s}>2\Omega_{m}$

Aula 10 e 11 - Transformada Z

Saber calcular a transformada e a inversa
Saber calcular o valor inicial e o valor final de um sinal, a partir da transformada do sinal.
Saber realizar o método da divisão direta

$X(z)=\sum_{n=0}^\infty{x[n]z^{-n}}$

$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz$

$x[0]=\lim_{z\rightarrow\infty}{X(z)}$ $\lim_{n\rightarrow\infty}{x[\infty]}=\lim_{z\rightarrow 1}{(z-1)X[z]}$

Aula 12 - Descrição de sistemas

Saber como obter a resposta à entrada nula e estado nulo iterativamente
Saber como se resolve um sistema usando o método clássico.

$y_{\eta}[n]+a_{1}y_{\eta}[n-1]+a_{2}y_{\eta}[n-2]+...+a_{M}y_{\eta}[n-M]=y_{\eta}[-1]=y[-1],y_{\eta}[-2]=y[-2],...,y_{\eta}[-M]=y[-M]$

y_{\phi}[n]=-a_{1}y_{\phi}[n-1]-a_{2}y_{\phi}[n-2]-...-a_{M}y_{\phi}[n-M]+b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+...+b_{N}x[n-N]

y_\phi[-1]=y_\phi[-2]=...=y_{\phi}[-M]=0

Aula 13 - Mapeamento s-z

Saber como realizar o mapeamento s-z
Conhecer as diversas aproximações de discretização:
- Foward ( $s'=\frac{z-1}{T}$ )
- Backward ( $s'=\frac{z-1}{zT}$ )
- Tustin ( $s'=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$ )

$X(s)=X(z)|_{z=e^{sT}}$

Tabelas

Propriedades Transformada de Fourier

$x[n]$	$X(e^{j\Omega})$
$ax_{1}[n]+bx_{2}[n]$	$aX_1(e^{j\Omega}) + bX_2(e^{j\Omega})$
$x[n - n_0]$	$e^{-j\Omega_n0}X(e^{j\Omega})$
$e^{j\Omega_n0}x[n]$	$X(e^{j(\Omega-\Omega_0)})$
$x[-n]$	$X(e^{-j\Omega})$
$x^\ast[-n]$	$X^\ast(e^{-j\Omega})$
$\sum_{m=-\infty}^{n}x[m]$	$\frac{X(e^{j\Omega})}{1-e^{-j\Omega}}+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(\Omega-2\pi k\right)$
$x[n/k]$	$X(e^{jk\Omega})$
$nx[n]$	$j\frac{dX(e^{j\Omega})}{d\Omega}$
$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n]\vert ^{2}$	$\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{ }\vert X(e^{j\Omega})\vert ^{2}d\Omega$
$y[n]=x[n]^{\ast}h[n]$	$Y(e^{j\Omega})=X(e^{j\Omega})H(e^{j\Omega})$
$y[n]=x[n]h[n]$	$Y(e^{j\Omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{}X_{1}(e^{j\theta})X_{2}\left(e^{j\left(\Omega-\theta\right)}\right)d\theta$

Transformadas Transformada de Fourier

$x[n]$	$X(e^{j\Omega})$
$\delta[n]$	1
$u[n]$	$\frac{1}{1-e^{-j\Omega}} + \sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\Omega+2k\pi)$
$e^{j\alpha n}$	$2\pi\delta(\Omega+a)$
$cos(\alpha n)$	$\pi(\delta(\Omega-\alpha) +\delta(\Omega+\alpha))$
$sen(\alpha n)$	$\frac{\pi}{j}(\delta(\Omega-\alpha) +\delta(\Omega+\alpha))$

Propriedades Transformada Z

$x[n]$	$X(z)$
$x[n-m]$	$x[-m]+x[-m+1]z^{-1}+...+x[-1]z^{-m+1}+z^{-m}X(z)$
$x[n+m]$	$-x[m-1]z^1-x[m-2]z^2-...-x[0]z^{m}+z^{m}X(z)$
$ax_1[n] + bx_2[n]$	$aX_1(z) + bX_2(z)$
$x_1[n]\ast x_2[n]$	$X_1(z)X_2(z)$
$\sum_{k=0}^{n}x\left[k\right]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}X\left(z\right)$
$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$

Transformadas Z

Tabela de transformadasd Z