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Resumo Sinais II

Resumo + Formulário feito por Breno Amin e adaptado por Maurício Taffarel feito com muito carinho :heart:

Possíveis questões que vão cair na prova:

Questões legais para treinar:

  • Questão de Convolução
  • Questão de Fourier
  • Questão de Resposta em frequência
  • Questão de Filtros
  • Questão de Métodos dos coeficientes a determinar

Aula 1 - Fundamentos

  • Saber determinar o período fundamental se a sequência discreta for periódica

Ω0N=2πm\Omega_{0}N=2\pi m

Na lista 1 tem exemplos que trabalham isso

Aula 2 - Somatório de Convolução

  • Saber determinar intervalos da convolução
  • Saber fazer convolução

x[n]h[n]=k=x[k]h[nk]x[n]∗h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left[k\right]h\left[n-k\right]

n=N1N2αn=αN2+1αN1α1 com N2>N1 e α1\sum_{n=N_{1}}^{N_{2}}\alpha^{n}=\frac{\alpha^{N_{2}+1}-\alpha^{N_{1}}}{\alpha-1}\space com\space N_{2}>N_{1}\ e\ α\neq 1

No slide tem um exemplo muito bom A lista 1 também tem exemplos que trabalham isso

Aula 3 - Série de Fourier de Tempo Discreto

  • Saber utilizar Equação de Síntese e a Equação de Análise
  • Lembrar que Sinais reais apresentam simetria na frequência

x[n]=k=<N0>akejk(2πN0)nx[n]=\sum_{k=<N_{0}>}^{ }a_{k}e^{jk\left(\frac{2\pi}{N_{0}}\right)n}

ak=1N0n=<N0>x[n]ejk(2πN0)na_{k}=\frac{1}{N_{0}}\sum_{n=<N_{0}>}^{ }x\left[n\right]e^{-jk\left(\frac{2\pi}{N_{0}}\right)n}

Na lista 1 tem exemplos No slide também tem alguns exemplos

Aula 4, 5 e 6 - Transformada de Fourier e Resposta em frequência

  • Saber transistar entre a resposta em frequência, resposta ao impulso e equações de diferenças
  • Saber como trabalhar com equações diferenças com impulsos.
stateDiagram-v2
    ri : Resposta ao Impulso
    rf : Transformada de Fourier
    ed : Equação diferenças
    ed --> rf
    ri --> rf
    rf --> ri
    rf --> ed
    ed --> ri
    ri --> ed

x[n]=12π2πX(ejΩ)ejΩndΩx\left[n\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{ }X\left(e^{j\Omega}\right)e^{j\Omega n}d\Omega

X(ejΩ)=n=x[n]ejΩnX\left(e^{j\Omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left[n\right]e^{-j\Omega n}

H(ejΩ)=b0+b1ejΩ+...bNejΩNa0+a1ejΩ+...aMejΩM=k=0NbkejkΩk=0MakejkΩH\left(e^{j\Omega}\right)=\frac{b_{0}+b_{1}e^{-j\Omega}+...b_{N}e^{-j\Omega N}}{a_{0}+a_{1}e^{-j\Omega}+...a_{M}e^{-j\Omega M}}=\frac{\sum_{k=0}^{N}b_{k}e^{-jk\Omega}}{\sum_{k=0}^{M}a_{k}e^{-jk\Omega}}

Slides tem exemplos Lista 1 tem exemplos disso também

Aula 7 - Filtros em tempo discreto

  • Trabalhar com filtros analisando a resposta em frequência
  • Classificar se ele é passa alta, passa baixa, calcular algum parâmetro de ajuste
  • Reconhecer a equação de um média-móvel e saber utilizar ela

HPA(ejΩ)=HPB(ej(Ωπ))    hPA[n]=ejπnhPB[n]=(1)nhPB[n]H_{PA}(e^{j\Omega})=H_{PB}(e^{j(\Omega-\pi)}) \implies h_{PA}[n]=e^{j\pi n}h_{PB}[n]=(1)^{n}h_{PB}[n]

H(ejΩ)=ejΩ(NM)/2N+M+1sen(Ω(M+N+1)/2)sen(Ω/2)H\left(e^{j\Omega}\right)=\frac{e^{j\Omega\left(N-M\right)/2}}{N+M+1}\frac{sen\left(\Omega\left(M+N+1\right)/2\right)}{sen\left(\Omega/2\right)}

y[n]=1N+M+1k=NMx[nk]y[n]=\frac{1}{N+M+1}\sum_{k=-N}^{M}x\left[n-k\right]

  • Filtro passa-baixas com resposta de fase linear.
  • Se (NM)/2=m(N - M)/2 = m com mm um inteiro negativo. Então mm é um simples atraso temporal.

Aula 8 e 9 - Amostragem

  • Entender que a amostragem pode ser obtida através da multiplicação de sinais.
  • Entender a sobreposição espectral

xp(t)=x(t)p(t)x_{p}(t)=x(t)\cdot p(t) p(t)=n=δ(tnT)p\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}δ\left(t-nT\right) Xp(jΩ)=1Tk=X(j(ΩkΩs))X_{p}(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(j\left(\Omega-k\Omega_{s}\right)\right)

Ωs>2Ωm\Omega_{s}>2\Omega_{m}

Aula 10 e 11 - Transformada Z

  • Saber calcular a transformada e a inversa
  • Saber calcular o valor inicial e o valor final de um sinal, a partir da transformada do sinal.
  • Saber realizar o método da divisão direta

X(z)=n=0x[n]znX(z)=\sum_{n=0}^\infty{x[n]z^{-n}}

x[n]=12πjX(z)zn1dzx[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz

x[0]=limzX(z)x[0]=\lim_{z\rightarrow\infty}{X(z)} limnx[]=limz1(z1)X[z]\lim_{n\rightarrow\infty}{x[\infty]}=\lim_{z\rightarrow 1}{(z-1)X[z]}

Aula 12 - Descrição de sistemas

  • Saber como obter a resposta à entrada nula e estado nulo iterativamente
  • Saber como se resolve um sistema usando o método clássico.

yη[n]+a1yη[n1]+a2yη[n2]+...+aMyη[nM]=yη[1]=y[1],yη[2]=y[2],...,yη[M]=y[M]y_{\eta}[n]+a_{1}y_{\eta}[n-1]+a_{2}y_{\eta}[n-2]+...+a_{M}y_{\eta}[n-M]=y_{\eta}[-1]=y[-1],y_{\eta}[-2]=y[-2],...,y_{\eta}[-M]=y[-M]

yϕ[n]=a1yϕ[n1]a2yϕ[n2]...aMyϕ[nM]+b0x[n]+b1x[n1]+...+bNx[nN]y_{\phi}[n]=-a_{1}y_{\phi}[n-1]-a_{2}y_{\phi}[n-2]-...-a_{M}y_{\phi}[n-M]+b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+...+b_{N}x[n-N]
yϕ[1]=yϕ[2]=...=yϕ[M]=0y_\phi[-1]=y_\phi[-2]=...=y_{\phi}[-M]=0

Aula 13 - Mapeamento s-z

  • Saber como realizar o mapeamento s-z
  • Conhecer as diversas aproximações de discretização:
    • Foward (s=z1Ts'=\frac{z-1}{T})
    • Backward (s=z1zTs'=\frac{z-1}{zT})
    • Tustin (s=2Tz1z+1s'=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1})

X(s)=X(z)z=esTX(s)=X(z)|_{z=e^{sT}}

Tabelas

Propriedades Transformada de Fourier

x[n]x[n] X(ejΩ)X(e^{j\Omega})
ax1[n]+bx2[n]ax_{1}[n]+bx_{2}[n] aX1(ejΩ)+bX2(ejΩ)aX_1(e^{j\Omega}) + bX_2(e^{j\Omega})
x[nn0]x[n - n_0] ejΩn0X(ejΩ)e^{-j\Omega_n0}X(e^{j\Omega})
ejΩn0x[n]e^{j\Omega_n0}x[n] X(ej(ΩΩ0))X(e^{j(\Omega-\Omega_0)})
x[n]x[-n] X(ejΩ)X(e^{-j\Omega})
x[n]x^\ast[-n] X(ejΩ)X^\ast(e^{-j\Omega})
m=nx[m]\sum_{m=-\infty}^{n}x[m] X(ejΩ)1ejΩ+πX(ej0)k=δ(Ω2πk)\frac{X(e^{j\Omega})}{1-e^{-j\Omega}}+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(\Omega-2\pi k\right)
x[n/k]x[n/k] X(ejkΩ)X(e^{jk\Omega})
nx[n]nx[n] jdX(ejΩ)dΩj\frac{dX(e^{j\Omega})}{d\Omega}
n=x[n]2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert x[n]\vert ^{2} 12π2πX(ejΩ)2dΩ\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{ }\vert X(e^{j\Omega})\vert ^{2}d\Omega
y[n]=x[n]h[n]y[n]=x[n]^{\ast}h[n] Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)Y(e^{j\Omega})=X(e^{j\Omega})H(e^{j\Omega})
y[n]=x[n]h[n]y[n]=x[n]h[n] Y(ejΩ)=12π2πX1(ejθ)X2(ej(Ωθ))dθY(e^{j\Omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{}X_{1}(e^{j\theta})X_{2}\left(e^{j\left(\Omega-\theta\right)}\right)d\theta

Transformadas Transformada de Fourier

x[n]x[n] X(ejΩ)X(e^{j\Omega})
δ[n]\delta[n] 1
u[n]u[n] 11ejΩ+k=πδ(Ω+2kπ)\frac{1}{1-e^{-j\Omega}} + \sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\Omega+2k\pi)
ejαne^{j\alpha n} 2πδ(Ω+a)2\pi\delta(\Omega+a)
cos(αn)cos(\alpha n) π(δ(Ωα)+δ(Ω+α))\pi(\delta(\Omega-\alpha) +\delta(\Omega+\alpha))
sen(αn)sen(\alpha n) πj(δ(Ωα)+δ(Ω+α))\frac{\pi}{j}(\delta(\Omega-\alpha) +\delta(\Omega+\alpha))

Propriedades Transformada Z

x[n]x[n] X(z)X(z)
x[nm]x[n-m] x[m]+x[m+1]z1+...+x[1]zm+1+zmX(z)x[-m]+x[-m+1]z^{-1}+...+x[-1]z^{-m+1}+z^{-m}X(z)
x[n+m]x[n+m] x[m1]z1x[m2]z2...x[0]zm+zmX(z)-x[m-1]z^1-x[m-2]z^2-...-x[0]z^{m}+z^{m}X(z)
ax1[n]+bx2[n]ax_1[n] + bx_2[n] aX1(z)+bX2(z)aX_1(z) + bX_2(z)
x1[n]x2[n]x_1[n]\ast x_2[n] X1(z)X2(z)X_1(z)X_2(z)
k=0nx[k]\sum_{k=0}^{n}x\left[k\right] 11z1X(z)\frac{1}{1-z^{-1}}X\left(z\right)
nx[n]nx[n] zdX(z)dz-z\frac{dX(z)}{dz}

Transformadas Z

Tabela de transformadasd Z

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